静电场中的导体和电介质

静电场中的导体

导体在静电场中，会发生：

1. 静电感应
2. 导体带电
3. 静电平衡

静电平衡的条件：导体内部电场强度处处为0、导体表面的电场强度方向与导体表面垂直
则，导体内部电势相等，导体表面是等势面

静电平衡时导体上电荷的分布：
只分布在导体表面，导体内部无净电荷
若有空腔：
若空腔内有电荷：内表面有等值异号的电荷
若空腔内无电荷：内表面无电荷

导体表面电场强度与电荷面密度关系：
$E=\frac{\sigma }{{\epsilon }_0}$

孤立导体表面曲率越大，该处电荷分布越密，电场强度越大（尖端放电）

静电屏蔽
对于带空腔的导体：
外电场对腔内空间无影响 --> 导体壳可以屏蔽外部电场
腔内电荷对腔外空间有影响： $Q_{\mathrm{外}\mathrm{表}\mathrm{面}}=q_{\mathrm{内}}$
外壳接地后，腔内外电场互不影响 --> 接地导体壳可以屏蔽内部电场

电场中的电介质与电介质极化

介质中电场减弱
$U=\frac{U_0}{{\epsilon }_r},E=\frac{E_0}{{\epsilon }_r}$
${\epsilon }_r$ ：电介质的相对电容率
真空中的电容率 ${\epsilon }_0=8.85\times {10}^{-12}$
介质中的电容率 $\epsilon \ge {\epsilon }_0$
介质中的相对电容率 ${\epsilon }_r=\frac{\epsilon }{{\epsilon }_0}\ge 1$

无外电场时，电介质宏观上呈电中性
有外电场时，
无极分子发生位移极化
有极分子发生取向极化（以及位移极化）

电极化强度：单位体积中所有分子的电偶极矩的矢量和
$\overrightarrow{P}=\frac{\sum {\overrightarrow{p}}_e}{\mathrm{\Delta }V}=n{\overrightarrow{p}}_e=nq\overrightarrow{l}$ （单位：$C/m^2$）
$n$：单位体积分子数

极化电荷面密度 ：数值上等于该处电极化强度沿表面外法向的投影
${\sigma }^{\prime }=\overrightarrow{P}\cos \theta =\overrightarrow{P}\cdot \overrightarrow{n}=P_n$

电极化强度的元通量：$\overrightarrow{P}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{S}$

有介质存在时，总电场 $\overrightarrow{E}=\overrightarrow{E_0}+\overrightarrow{E^{\prime }}$ （外电场+极化电荷产生的附加电场）
$\overrightarrow{P}=({\epsilon }_r-1){\epsilon }_0\overrightarrow{E}={\chi }_e{\epsilon }_0\overrightarrow{E}$
其中 ${\chi }_e$ 是电极化率

有电介质时，高斯定理依然成立
电位移矢量 $\overrightarrow{D}={\epsilon }_0\overrightarrow{E}+\overrightarrow{P}={\epsilon }_0{\epsilon }_r\overrightarrow{E}(\mathrm{单}\mathrm{位}：C/m^2)$
${\oint }_S\overrightarrow{D}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{S}=\sum _{\mathrm{内}}{q}_0$

电容与电容器

孤立导体的电容：导体电势为$u=1V$时导体能够容纳电荷的量
$C=\frac{Q}{u}$
单位：法拉（F）/（C/V）

电容器 ：靠得很近但彼此绝缘的导体组合
$C=\frac{Q}{U}$
若极板间充满各向同性均匀电介质，此时 $C={\epsilon }_r{C}_0$

平行平板电容器
$E=\frac{\sigma }{{\epsilon }_0{\epsilon }_r}=\frac{Q}{{\epsilon }_0{\epsilon }_{r}S}$
$U=Ed$
$C=\frac{Q}{U}=\frac{{\epsilon }_0{\epsilon }_{r}S}{d}$

若中间介质厚度为d：$C=\frac{{\epsilon }_{0}S}{d-l(\frac{{\epsilon }_r-1}{{\epsilon }_r})}$

球形电容器
（两球壳）
$E=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0{\epsilon }_r{R}_1{R}_2}$
$U=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0{\epsilon }_r}(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2})$
$C=\frac{4\pi {\epsilon }_0{\epsilon }_r{R}_1{R}_2}{R_2-R_1}$

圆柱形电容器
（L是高度）
$E=\frac{Q}{2\pi {\epsilon }_0{\epsilon }_{r}rL}$
$U=\frac{Q}{2\pi {\epsilon }_0{\epsilon }_r}\ln \frac{R_2}{R_1}$
$C=\frac{2\pi {\epsilon }_0{\epsilon }_{r}L}{\ln (R_2/R_1)}$

分布式电容
$E=\frac{q}{2\pi {\epsilon }_{0}x}+\frac{q}{2\pi {\epsilon }_0(d-x)}$
$U=\frac{q}{\pi {\epsilon }_0}\ln \frac{d-a}{a}\approx \frac{q}{\pi {\epsilon }_0}\ln \frac{d}{a}$
$C=\frac{\pi {\epsilon }_0}{\ln (d/a)}$

电容器的并联
$C=C_1+C_2$
电容器的串连
$C=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}$

电场的能量

$W_e=\frac{Q^2}{2C}=\frac{1}{2}C{U}^2=\frac{1}{2}QU$

带电体的能量就是电场的能量
$w_e=\frac{\mathrm{d}{W}_e}{\mathrm{d}V}=\frac{1}{2}{\epsilon }_0{\epsilon }_r{E}^2$